Banyak sekali soal2 matematika SMA terutama soal2 SNMPTN, UM PTN yang sangat rumit untuk dipecahkan, mungkin ini disebabkan pemahaman konsep materi yang keliru dari siswa itu sendiri. Hal ini bisa dimaklumi karena memang di sekolah tempat mereka belajar sudah ditanamkan dikotomi rumus2 matematika yang harus seperti itu. Tulisan ini akan membedah dan meluruskan pemahaman kita tentang persamaan2 matematika sehingga dapat berguna untuk menyelesaikan soal2 matematika dengan sangat cepat. Dalam seri ini saya akan membahas tentang barisan dan deret Aritmatika.
Bentuk umum :
U1, U2, U3, U4, . . ., Un atau
a, a+b, a+2b, . . .a+(n-1)b
dengan rumus umum suku ke- n adalah :
Un = a+(n-1)b
dengan U1 = a dan beda : b = U2 – U1 = U3 – U2 = Un - Un-1
Sekilas tidak ada yang salah dalam pers diatas. Persamaan diatas memang tidak ada yang salah. Tetapi berbahaya jika siswa hanya diberikan pemahaman yang seperti itu dan terpaksa menelan mentah2 pers dalam barisan aritmatika tersebut. Dari definisi, barisan aritmatika mempunyai selisih tiap suku-sukunya tetap. Jadi bentuk pers :
a, a+b, a+2b, . . .a+(n-1)b (1)
tidaklah mutlak. Artinya bentuk diatas juga bisa dirubah dalam bentuk :
a-2b, a-b, a, a+b, a+2b, . . . (2)
atau mungkin dalam bentuk pers yang lain. Artinya suku pertama atau U1 tidak selalu sama dengan a. Karena yang terpenting adalah selisih tiap suku yang berurutan selalu tetap.
Lalu apa gunanya merubah pers (1) menjadi pers (2) ?
Tentu saja sangat berguna untuk lebih mudah dan cepat menyelesaikan soal2 barisan atau deret aritmatika.
Perhatikan contoh berikut!
• Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmatika. Jika jumlah ketiga bilangan adalah 24 dan hasil kalinya adalah 480 maka bilangan yang terbesar adalah. . . .
Penyelesaian :
Jika kita menggunakan pers dasar dari barisan aritmatika maka bil tersbt dapat dimisalkan
a, a+b, a+2b. Jika dijumlah a + a+b + a+2b = 24
3a + 3b = 24
a + b = 8
a = 8 – b . . . (i)
Hasil kalinya a.(a+b).(a+2b) = 480
Substitusi dengan pers (i) menjadi
(8–b).(8-b+b).(8-b+2b) = 480
(8–b).(8).(8+b) = 480
(8–b).(8+b) = 480/8
64 – b2 = 60
b2 = 4
b = ± = ±2
dengan pers (i) dan diambil b = 2 maka :
a = 8 – b = 8 – 2 = 6
jadi bilangan terbesarnya adalah a+2b = 6 + 2.2 = 10
Tapi adakah cara yang lebih mudah dan praktis dalam menyelesaikan soal diatas ?
Tentunya ada.
Kita rubah permisalan ketiga bilangan diatas dari :
a, a+b, a+2b menjadi a-b, a, a+b
jadi jika dijumlahkan didapat a-b + a + a+b = 24
3a = 24
a = 8
Hasil kalinya (a-b).a.(a+b) = 480
(8–b).(8).(8+b) = 480
(8–b).(8+b) = 480/8
64 – b2 = 60
b2 = 4
b = ±2
jadi bilangan terbesarnya adalah a+b = 8 + 2 = 10. lebih cepat bukan!!
Contoh lain :
• Jika adalah suku ke-n deret aritmetika yang memenuhi U5 =1/4 dan , maka ...
Penyelesaian :
Jika kita menggunakan pers dasar dari barisan aritmatika maka bil tersbt dapat dimisalkan
a, a+b, a+2b, a+3b, a+4b. Jika dijumlah a + a+b + a+2b + a+3b + a+4b = 10
5a + 10b = 10
a + 2b = 5 . . . (i)
U5 = a+4b =1/4 . . . (ii)
Dari (i) dan (ii)
a + 4b =1/4
a + 2b = 5 _
2b = - 7/4
b = - 7/8 sehingga didapat a = 15/4
Jadi didapat U3 = a+2b = 15/4 +2(- 7/8) = 2
Tetapi jika kita rubah permisalan ketiga bilangan diatas dari :
a, a+b, a+2b, a+3b, a+4b menjadi a-2b, a-b, a, a+b, a+2b
dan jika dijumlah a-2b + a-b + a + a+b + a+2b = 10
5a = 10 sehingga a = 2
Jadi didapat U3 = a = 2 jauh lebih cepat bukan!!!
Contoh lain :
• Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmatika. Jika jumlah ketiga bilangan adalah 75 dan selisih kuadrat bilangan terbesar dan kuadrat bilangan terkecil adalah 700, maka ketiga bilangan itu adalah . . .
Penyelesaian :
Jika kita menggunakan pers dasar dari barisan aritmatika maka bil tersbt dapat dimisalkan
a, a+b, a+2b. Jika dijumlah a + a+b + a+2b = 75
3a + 3b = 75
a + b = 25
a = 25 – b . . . (i)
Selisih kuadaratnya (a+2b)2 – a2 = 700
Tentunya dengan substitusi dengan pers (i) dan asal kita tekun akan ketemu solusi soal diatas. Tapi akan cukup memakan waktu yang tidak sebentar untuk menyelesaikan persamaan diatas, belum juga resiko salah hitung atau kurang teliti. Jadi lebih bijak jika kita rubah permisalan ketiga bilangan diatas menjadi :
a-b, a, a+b
jadi jika dijumlahkan didapat a-b + a + a+b = 75
3a = 75
a = 25
Selisih kuadaratnya (a+b)2 – (a-b)2 = 700
2ab - (-2ab) = 700
4ab = 700
b = 7
jadi ketiga bilangan itu adalah a-b, a, a+b = 18, 25, 32. praktis bukan !!
Walaupun kelihatannya sepele tapi pemahaman kita tentang persamaan barisan aritmatika yang sesungguhnya diatas akan sangat membantu kita dalam menyelesaikan soal2 barisan aritmatika terutama dalam menghadapi UAN, SNMPTN maupun UM PTN sekalipun.
Bagaimana pendapat Anda ?
referensi:http://ikhsanrizki.blogspot.com/2009/02/cara-cepat-menyelesaikan-soal2_05.html
0 komentar:
Posting Komentar