CARA CEPAT MENYELESAIKAN SOAL2 MATEMATIKA Bag 2

Melanjutkan Seri Barisan dan Deret bag I, walaupun kelihatannya sepele tapi pemahaman kita tentang persamaan barisan aritmatika yang lebih fleksibel dan tidak terpaku pada rumus baku akan sangat membantu kita dalam menyelesaikan soal2 barisan aritmatika terutama dalam menghadapi UAN, SNMPTN maupun UM PTN sekalipun. Banyak sekali soal2 matematika SMA terutama soal2 SNMPTN, UM PTN yang sangat rumit untuk dipecahkan, mungkin ini disebabkan pemahaman konsep materi yang keliru dari siswa itu sendiri.

Bentuk umum :
U1, U2, U3, U4, . . ., Un atau
a, a+b, a+2b, . . .a+(n-1)b
dengan rumus umum suku ke- n adalah :
Un = a+(n-1)b
dan rumus umum jumlah dari n suku pertamanya adalah :


dengan U1 = a dan beda : b = U2 – U1 = U3 – U2 = Un - Un-1
Sekilas tidak ada yang salah dalam pers diatas. Persamaan diatas memang tidak ada yang salah. Tetapi berbahaya jika siswa hanya diberikan pemahaman yang seperti itu dan terpaksa menelan mentah2 pers dalam barisan aritmatika tersebut. Rumus suku suku ke- n dan rumus umum jumlah dari n suku pertamanya diatas pertama kali ditemukan oleh Carl F. Gauss pada tahun 1787 M saat dia masih duduk di kelas 3 SD. Artinya rumus-sumus diatas sudah sangat lama bahkan dapat dikatakan kuno. Sekarang permasalahan matematika sudah sangat kompleks, jadi lebih bijak jika kita mulai menemukan pers baru yang dapat lebih mudah dan cepat dalam menyelesaikan soal2 matematika. Dan tentunya tetap menggunakan rumus2 yang sudah ada sebagai dasar kita untuk menemukan pers2 baru. Contoh kecil rumus umum suku ke- n barisan aritmatika diatas dapat kita modif :
Un = a+(n-1)b = a+bn-b
Un = bn + a-b
(1)
Dengan cara yang sama rumus umum jumlah dari n suku pertamanya :

Sn = bn2 + (a - b)n
(2)
Lalu apa gunanya merubah pers diatas ?
Tentu saja sangat berguna untuk lebih mudah dan cepat menyelesaikan soal2 barisan atau deret aritmatika. Dengan persamaan diatas kelihatan bahwa suku ke- n dari barisan aritmatika selalu berbentuk pers linier dan jumlah dari n suku pertamanya selalu berbentuk pers kuadrat. Selain itu dapat langsung kelihatan bahwa beda ( b ) dari barisan aritmatika adalah koefisien n dari pers linier suku ke- n atau Un dan 2 kali koefisien n2 dari pers kuadrat jumlah dari n suku pertama atau Sn.
Perhatikan contoh berikut!
• Jika Un = 4n + 6 menyatakan suku ke-n suatu deret aritmatika maka bedanya adalah...
Penyelesaian :
Un = 4n + 6
U1 = 4.1 + 6 = 10
U2 = 4.2 + 6 = 14
b = U2 - U1
= 14 – 10 = 4
Tetapi jika kita gunakan rumus suku ke- n pers (1) tentunya langsung kelihatan kalau bedanya adalah 4. Ingat beda ( b ) dari barisan aritmatika adalah koefisien n dari pers linier suku ke- n.
• Jika Sn = 4n2 + 6n menyatakan suku ke-n suatu deret aritmatika maka bedanya adalah...
Penyelesaian :
Sn = 4n2 + 6n
S1 = 4.1 + 6.1 = 10
S2 = 4.4 + 6.2 = 28
U2 = S2 – S1 = 28 – 10 = 18
b = U2 – U1 = U2 – S1 (karena U1 = S1)
= 18 – 10
= 8
Tetapi jika kita gunakan rumus umum jumlah dari n suku pertama pada pers (2) tentunya langsung kelihatan kalau bedanya adalah 2.4 = 8. Ingat beda ( b ) dari barisan aritmatika adalah 2 kali koefisien n2 dari pers kuadrat jumlah dari n suku pertama atau Sn. Jauh lebih praktis bukan !!

Hubungan Un dengan Sn
Dari rumus dasar jumlah n suku pertama deret aritmatika


Referensi : http://ikhsanrizki.blogspot.com/2009/02/cara-cepat-menyelesaikan-soal2.html

Posted in: IMO, Materi - Materi IMO